Unlock document.
This document is partially blurred.
Unlock all pages and 1 million more documents.
Get Access
35
Problem Set 3.1
In Problems 1–8 perform the indicated operations, if defined, for the vectors and matrices below.
0
30 2 1 0 1
, , , 1
12 15 4 2 3
½
ªº ª º ½ °°
®¾ ®¾
«» « »
¬¼ ¬ ¼ ¯¿ °°
¯¿
AB vw
1.
T
B+vw
Solution
2.
T
vB w
Solution
3.
TT
ww vv
4.
()
TT T
vw B
5.
TT
Avw B A
Solution
6.
TT
BB Avv
7.2Av Bw
Solution
8.
TT
wBv
In Problems 9–14,
(a) Find the row-echelon form and use it to determine the rank.
(b) Confirm using MATLAB.
36
9.
31
14
ªº
«»
¬¼
A
Solution
(a)
14
REF( ) 013
ªº
«»
¬¼
A
,
rank( ) 2 A
10.
111
41 2
14 5
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
(a)
111
REF( ) 0 5 6
ªº
«»
«»
A
,
rank( ) 2 A
11.
211
132
420
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
(a)
13 2
REF( ) 0 1 1
00 2
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
,rank( ) 3 A
37
12.
312
12 1
211
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
(a)
12 1
REF( ) 0 1 1
00 2
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
,rank( ) 3 A
13.
3201
1110
02 41
11 31
ªº
«»
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
(a)
1110
01 31
REF( ) 00 21
ªº
«»
«»
«»
A
,rank( ) 3 A
38
14.
1120
32 01
23 21
41 21
ªº
«»
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
1120
ªº
In Problems 15–20 evaluate the determinant.
15.
123 5
0014
015 1
0001
Solution
using the 4th row using the 2nd row
123 5 123
0014 12
16.
12
001
, ,
00 3 2
00 02
aa
ba b parameter
a
Solution
39
17.
11 1
022 ,
12
s
s s parameter
s
Solution
18.
123 5
22 1 4
310 1
21 31
Solution
123 5 235 1 35 123
19.
30 0 0
04 1 0
02 5 0
00 0 2
20.
120 60
230 0 10
0060 0
000 12
0003 5
Solution
In Problems 21–28 find the inverse of the matrix.
21.
,
ab ab
ba
ªº
z
«»
¬¼
A
40
22.
cos sin
sin cos
TT
TT
ªº
«»
¬¼
A
Solution
22
cos sin 1
TT
A
. The adjoint matrix is formed as
cos sin
adj( ) sin cos
TT
TT
ªº
«»
¬¼
A
. Finally,
23.
401
032
121
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
25 A
. Then,
24.
10 2
02 1
00 3
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
Upper-triangular matrix;
6 A
. Then,
25.
30 0
110
20 2
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
Lower-triangular matrix;
6 A
. Then,
26.
01
012 ,
10 2
a
a a parameter
a
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
32 3
331(1)aaa a A
. Then
41
27.
30 0
010 ,
003(1)
a
a a parameter
a
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
Diagonal matrix, hence
100
ªº
«»
28.
112 12 2 12
1212
112 12 2 12
sin sin sin , , , ,
cos cos cos
LL L L L parameter
LL L
TTT TT TT
TTT TT
ª º
«»
¬¼
A
Solution
29. Given
nnu
A
and scalar
D
, show that
11
1
DD
AA
.
Solution
By definition, we have
1
1adj
DD
D
AA
A
. But by one of the determinant properties listed earlier,
30. Show that the inverse of a (non-singular) symmetric matrix is symmetric.
Solution
Problem Set 3.2
In Problems 1–6 solve the linear system Ax = b using Gauss elimination.
42
1.
31 2 8
45 1 , 5
162 2
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
2.
152 1
313 , 0
42 5 1
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
Ab
3.
12 1 0
302 , 1
21 2 4
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
Using EROs 11
12 10 30 21 1
ªº
ª º ½
4.
232 4
14 3 , 1
30 2 0
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
2324 23 2 4 2
ªº ª º
½
5.
24 3 1 7
32 61 6
,
1232 1
489 3 3
ªº½
«»°°
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
°°
¬¼¯¿
Ab
Solution
1
24 3 17 1 2 321
½
ª º ª º °°
43
6.
2103 10
1314 14
,
2035 9
1246 11
ªº½
«»°°
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
°°
¬¼¯¿
Ab
Solution
Using EROs
2 1 0 3 10 2 1 0 3 10 1
1 3 1 4 14 0 3.5 1 5.5 19 2
2 0 3 5 9 0 0 4.7143 3.5714 2.4286 1
1 2 4 6 11 0 0 0 1.5152 3.0303 2
ª º ª º ½
«»« »
°°
°°
«»« »
o
®¾
«»« »
°°
«»« »
°°
«»« »
¯¿
¬¼¬ ¼
x
7.
12 1 0
3 0 2 , ,
21 2 4
b b parameter
b
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
23 4 0
b
ªº½½
8.
12
12 1 , 4 ,
013 32
aa
a a a parameter
aa
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a)
2
12
3
2
613241 1
133 24 2
622 32 1
121
aaa
a
aaa a
aa a
aa
ªº
½½
«»
°°°°
«»
®¾®¾
«»
°°°°
¯¿¯¿
«»
xAb
44
9.
21 1 2
03 2 , 2
00 4 8
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a)
1
12 4 5 2 3
108 4 2 2
ª º½½
°°°°
«»
®¾®¾
«»
xAb
10.
24 1 0
131 , 2
12 3 1
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a)
1
71470 3
145 32 1
75821 2
ªº½½
°° ° °
«»
®¾ ® ¾
«»
°° ° °
«»
xAb
In Problems 11–14 solve the linear system Ax = b
(a) using Cramer’s rule,
(b) Repeat in MATLAB.
11.
23 1 1
12 1 , 8
132 13
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a) The determinant of the coefficient matrix is
23 1
12 1 6
132
D
45
12 3
131 21 1 231
8 2 1 6 , 1 8 1 12 , 1 2 8 18
1332 1 132 1 313
DD D
Subsequently,
12.
20 1 3
11 2 , 3
312 1
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a) The determinant of the coefficient matrix is
20 1
11 24
312
D
13.
11 0
, ,
22 1/
ss parameter
ss
ªº½
®¾
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a) The determinant of the coefficient matrix is
2(3)Dss
. We proceed by evaluating
12
1, 1DDs
so that
46
14.
12 3 3
21 0 , 5
14 2 4
ªº½
°°
«»
®¾
«»
°°
«»
¬¼¯¿
Ab
Solution
(a) The determinant of the coefficient matrix is
12 3
21 0 17
14 2
D
In Problems 15–18 solve the homogeneous linear system
Ax = 0
for which the coefficient matrix is provided. The
components of
x
are 12
, , ... , n
xx xwhere
n
is the system size.
15.
134
221
115
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
Since the coefficient matrix is singular, the system has infinitely many solutions. The row-echelon from of the
system is obtained as
47
¯¿
16.
201
113
223
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
17.
532
024
326
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
18.
101
010
101
ªº
«»
«»
«»
¬¼
A
Solution
Since the coefficient matrix is singular, the system has infinitely many solutions. The row-echelon from of the
system is obtained as
1010
0100
0000
ªº
«»
«»
«»
¬¼
48
Problem Set 3.3
In Problems 1–10,
(a) Find the eigenvalues and eigenvectors of the matrix,
(b) Repeat in MATLAB.
1.
20
53
ªº
«»
¬¼
A
Solution
(a) Lower-triangular matrix; () 2,3
O
A. For
O
we solve
2.
20
02
ªº
«»
¬¼
A
Solution
(a) Diagonal matrix; () 2,2
O
A. For 1
2
O
we solve
>@
111
00 0 1
2
04 0 0
ª º ½ ½
®¾ ®¾
«»
¬ ¼ ¯¿ ¯¿
AIv0 v v
49
3.
04
13
ªº
«»
¬¼
A
Solution
(a)
() 4,1
O
A
. For
14
O
we solve
4.
0 ,
0
aa parameter
a
ªº
«»
¬¼
A
Solution
(a)
() a
O
rA
. For
1a
O
we solve
>@
111
01
aa
aaa
ªº½ ½
®¾ ®¾
«»
AIv0 v v
